Tribu

Définition intuitive

Une tribu est une collection de parties d’un ensemble $X$ que l’on désigne comme « mesurables ».

Pourquoi ne pas simplement mesurer toutes les parties de $X$ ? Dans des espaces comme $\mathbb R$, cela est impossible si l’on veut conserver les propriétés naturelles d’une mesure : certaines parties sont trop irrégulières pour qu’on puisse leur attribuer une taille de façon cohérente.

On choisit donc une collection $\mathcal A$ de parties « suffisamment raisonnables », tout en demandant qu’elle reste stable par des opérations naturelles comme le passage au complémentaire et les unions dénombrables.

Définition formelle

Soit $X$ un ensemble. Une tribu $\mathcal{A}$ (ou $\sigma$-algèbre) sur $X$ est une famille de parties de $X$ vérifiant les propriétés suivantes :

1. $\mathcal{A}$ contient l’ensemble vide et $X$
2. $\mathcal{A}$ est stable par complémentaire
3. $\mathcal{A}$ est stable par union dénombrable.