Parties finies ou cofinies de $\N$ comme une tribu

• $\emptyset$ est fini, donc est dans $\mathcal{A}$ ; $\N$ est cofini, donc est dans $\mathcal{A}$ ;
• $\mathcal{A}$ est clairement stable par complémentaire ;
• et $\mathcal{A}$ est stable par union finie : si $A_{1},\ldots,A_{n}$ sont des parties finies ou de complémentaire fini, alors leur union également.

Alors, $\mathcal{A}$ est une tribu ?
Eh bien, non, c’était un piège ! Le problème est que $\mathcal{A}$ n’est pas stable par union dénombrable.
En effet : si on considère les parties $P_{n}=\{2,4,\ldots,2{n}\}$, leur union est l’ensemble des nombres pairs, qui n’est ni fini, ni de complémentaire fini (puisque les nombres impairs sont en nombre infini).