Tribu
Concept history
A revision trail for this concept page.
Revision 4783
9/13/2026, 11:27:58 AM · Ancient Tree
Updated text
Compare with revision 47822 changed lines
1
##### Définition intuitive (si utile)2
3
Une tribu est une collection de parties d'un ensemble $X$ que l'on désigne comme « mesurables ».4
5
Pourquoi ne pas simplement mesurer toutes les parties de $X$ ? Dans des espaces comme $\mathbb R$, cela est impossible si l'on veut conserver les propriétés naturelles d'une mesure : certaines parties sont trop irrégulières pour qu'on puisse leur attribuer une taille de façon cohérente.5
Pourquoi ne pas simplement mesurer toutes les parties de $X$ ? Dans des espaces comme $\mathbb R$, cela est impossible si l'on veut conserver les propriétés naturelles d'une mesure : [[Ensemble de Vitali|certaines parties sont trop irrégulières pour qu'on puisse leur attribuer une taille de façon cohérente]].6
7
On choisit donc une collection $\mathcal A$ de parties « suffisamment raisonnables », tout en demandant qu'elle reste stable par des opérations naturelles comme le passage au complémentaire et les unions dénombrables.8
9
##### Définition formelle10
11
Soit $X$ un ensemble. Une tribu $\mathcal{A}$ (ou $\sigma$-algèbre) sur $X$ est une famille de parties de $X$ vérifiant les propriétés suivantes :12
1) $\mathcal{A}$ contient l'ensemble vide et $X$13
2) $\mathcal{A}$ est stable par complémentaire14
3) $\mathcal{A}$ est stable par union dénombrable.Revision 4782
9/13/2026, 11:26:02 AM · Ancient Tree
Updated text
Compare with revision 47792 changed lines
1
##### Définition intuitive (si utile)2
3
Une tribu est une collection de parties d'un ensemble $X$ que l'on désigne comme « mesurables ».4
5
Pourquoi ne pas simplement mesurer toutes les parties de $X$ ? Dans des espaces comme $\mathbb R$, cela est impossible si l'on veut conserver les propriétés naturelles d'une mesure : certaines parties sont trop irrégulières pour qu'on puisse leur attribuer une taille de façon cohérente.6
7
On choisit donc une collection $\mathcal A$ de parties « suffisamment raisonnables », tout en demandant qu'elle reste stable par des opérations naturelles comme le passage au complémentaire et les unions dénombrables.8
9
##### Définition formelle10
11
Soit $X$ un ensemble. Une tribu $\mathcal{A}$ (ou $\sigma$-algèbre) sur $X$ est une famille de parties de $X$ vérifiant les propriétés suivantes :12
1) $\mathcal{A}$ contient l'ensemble vide et $X$.12
1) $\mathcal{A}$ contient l'ensemble vide et $X$13
2) $\mathcal{A}$ est stable par complémentaire14
3) $\mathcal{A}$ est stable par union dénombrable.Revision 4779
9/13/2026, 11:24:34 AM · Ancient Tree
Added exercise "Tribu des parties"
linked exercisesUne toute petite tribuUne toute petite tribu, Tribu des parties
Revision 4777
9/13/2026, 11:21:56 AM · Ancient Tree
Added exercise "Une toute petite tribu"
linked exercisesNoneUne toute petite tribu
Revision 4776
9/13/2026, 11:19:25 AM · Ancient Tree
Concept created
##### Définition intuitive (si utile)
Une tribu est une collection de parties d'un ensemble $X$ que l'on désigne comme « mesurables ».
Pourquoi ne pas simplement mesurer toutes les parties de $X$ ? Dans des espaces comme $\mathbb R$, cela est impossible si l'on veut conserver les propriétés naturelles d'une mesure : certaines parties sont trop irrégulières pour qu'on puisse leur attribuer une taille de façon cohérente.
On choisit donc une collection $\mathcal A$ de parties « suffisamment raisonnables », tout en demandant qu'elle reste stable par des opérations naturelles comme le passage au complémentaire et les unions dénombrables.
##### Définition formelle
Soit $X$ un ensemble. Une tribu $\mathcal{A}$ (ou $\sigma$-algèbre) sur $X$ est une famille de parties de $X$ vérifiant les propriétés suivantes :
1) $\mathcal{A}$ contient l'ensemble vide et $X$.
2) $\mathcal{A}$ est stable par complémentaire
3) $\mathcal{A}$ est stable par union dénombrable.