À la recherche d’un triangle

On pose $D_{1},D_{2},D_{3}$ les trois droites et $s_{1},s_{2},s_{3}$ les trois symétries orthogonales correspondantes et $O$ l’intersection des trois droites. L’application $s_{0}=s_{1}\circ s_{2}\circ s_{3}$ est une isométrie du plan affine par composition d’isométrie et son déterminant (de sa partie linéaire) est $\det(s_{0})=(-1)^{3}=-1.$ Il s’agit donc d’une isométrie indirecte donc d’une symétrie. On note $D_{0}$ son axe de symétrie et $x_{3}$ un point quelconque de $D_{0}$ distinct de l’intersection commune aux $4$ droites. On pose alors $x_{2}=s_{3}(x_{3}),x_{1}=s_{2}(x_{2})$ de telle sorte que $s_{1}(x_{1})=s_{1}(s_{2}(s_{3}(x_{3})))=x_{3}$ donc $D_{1}$ est la médiatrice de $[x_{1},x_{3}]$ et, de même, $D_{2}$ est la médiatrice de $[x_{1},x_{2}]$ et $D_{3}$ la médiatrice de $[x_{2},x_{3}].$
Il ne reste plus qu’à déterminer un point de $D_{0}$ pour pouvoir tracer $D_{0}$ pour cela considérons un point $y$ quelconque de $\mathbb{R}^{2}$ distinct du point d’intersection commun.

• Si $s_{0}(y)=y$ alors $(Oy)=D_{0}.$
• Sinon $D_{0}$ est la médiatrice $[y,s_{0}(y)].$

Une fois $D_{0}$ construite il ne nous reste plus qu’à prendre $x_{3}$ dessus puis construire ses symétriques par rapport aux deux droites et on a notre triangle.

Lien vers une construction geogebra interractive (je n’arrive pas à comprendre comment JSXGraph fonctionne désolé !!) :
https://www.geogebra.org/calculator/x7s6xtfn