Aire d’un triangle dans un quart de cercle

Il existe une très belle solution géométrique. L’objectif va être de déterminer $BC$ et $AC$.

1. Déjà, on s’aperçoit qu’il n’est pas évident de placer le point $C$. Une idée sympathique est que $ABC$ est un triangle rectangle en $C$, et donc $C$ doit se trouver sur le cercle circonscrit à $ABC$. Pour l’obtenir, on place donc $D$ le milieu de $[AB]$ et on trace le cercle de centre $D$ et de rayon $DB$ ; l’intersection des deux cercles donne $C$.

2. L’idée non triviale est de prolonger $(AC)$ vers la gauche, ainsi que le cercle, pour obtenir la figure suivante :
   
   Notre cercle initial admet en effet comme diamètre $B'B$ (où $B'$ est le point sur l’axe des abscisses situé en $-10$), et comme $B'CB$ admet le cercle initial comme cercle circonscrit, alors $B'CB$ est rectangle, et donc les points $C,A,B'$ sont bien alignés.

Mais maintenant, l’intérêt de ce prolongement est qu’on repère que le nouveau triangle $B'AO$ est semblable au grand triangle $B'CB$. On identifie : $B'C$ correspond à $B'O$, $BC$ correspond à $AO$, et $BB'$ correspond à $AB'$.
Par le théorème de Thalès, on trouve
$$BC=\frac{AO\times BB'}{AB'}=\frac{5\times 20}{5\sqrt{5}}=4\sqrt{5}$$où l’on avait déterminé $AB'=AB$ grâce à Pythagore dans $ABO$.

A nouveau grâce à Pythagore, cette fois dans $ABC$, on trouve $AC=3\sqrt{5}$.

Finalement, on obtient que l’aire de $ABC$ est
$$\frac{AC\times BC}{2}=30.$$