Alfred, les tenseurs, le noyé et un soupçon de réfraction

Alfred est tranquillement installé sur la plage, plongé dans la lecture d’un passionnant traité d’algèbre tensorielle.

Il s’apprêtait justement à attaquer un chapitre consacré aux produits tensoriels quand il voit un individu en train de se noyer au loin.
Alfred réfléchit intensément, il modélise le problème qui se pose à lui pour minimiser son temps de parcours.
Il sait que sa vitesse de course sur le sable $v_t$ est supérieure à la vitesse avec laquelle il nage $v_e$.
Il se trouve au point $A$ sur la plage, tandis que le baigneur est au point $B$ dans l’eau.
Problème : Alfred doit déterminer la position du point $M$ à partir duquel il quittera la plage pour rentrer dans l’eau.
– Alfred va courir de $A$ à $M$ en ligne droite à la vitesse $v_t$ ;
– nager de $M$ à $B$ en ligne droite à la vitesse $v_e$ ;
– de telle sorte que la somme des temps de trajet soit minimum ;
– $d$ est la distance entre les projections orthogonales des points $A$ et $B$ sur le rivage.

Les neurones d’Alfred s’affolent : faut-il filer directement vers $B$ en ligne droite (trajectoire rectiligne $AMB$) ? Ou bien vaut-il mieux courir davantage sur la plage avant de se jeter à l’eau (ligne brisée $AMB$) ?
Mais dans ce cas, où doit se situer le point $M$ à partir duquel il se met à nager ?

On supposera que le rivage est parfaitement rectiligne et que la trajectoire d’Alfred est constituée de deux segments rectilignes : $(AM)$ sur la plage et $(MB)$ dans l’eau.

Rompu à ce genre de calcul d’optimisation, Alfred ne tarde pas à trouver la solution. Il se met donc à courir à toute vitesse, puis se jette dans l’eau avec détermination.

1. Et vous, sauriez-vous déterminer la position du point $M$ ?
   application numérique :
   – $h_A$ = 20 mètres (distance de $A$ au rivage) ;
   – $h_B$ = 50 mètres (distance de $B$ au rivage) ;
   – $d$ = 100 mètres (distance horizontale entre les projections de $A$ et de $B$ sur le rivage) ;
   – $v_t$ = 5 m/s (vitesse d’Alfred sur le sable) ;
   – $v_e$ = 1 m/s (vitesse d’Alfred dans l’eau).
2. Sauriez-vous établir une relation entre les fonctions trigonométriques des angles $\alpha$ et $\beta$ ?

Schéma :