Algèbre & Equations différentielles

Montrons que la limite existe toujours dans $[0,+\infty]$, mais sa valeur dépend de la condition initiale $y(0)$. On la calcule exactement en diagonalisant le système.

Le système s’écrit $y'=Py$, où $P$ est la matrice de permutation définie par $(Py)_i=y_{\sigma(i)}$. Donc $y(t)=e^{tP}y(0)$.

La matrice $P$ est orthogonale, donc normale. Elle est diagonalisable dans une base orthonormée de $\mathbb{C}^n$, et ses valeurs propres sont des racines de l’unité. Notons $\pi_\omega$ les projecteurs orthogonaux sur ses espaces propres. On a alors
$$y(t)=\sum_\omega e^{\omega t}\pi_\omega y(0),$$et, par orthogonalité des espaces propres,
$$\|y(t)\|^2=\sum_\omega e^{2t\operatorname{Re}\omega}\|\pi_\omega y(0)\|^2.$$

Décomposons $\sigma$ en cycles. Soit un cycle $(a_0,\dots,a_{\ell-1})$, avec $a_{j+1}=\sigma(a_j)$. Le vecteur $v$ défini par $v_{a_j}=\omega^j$ sur ce cycle, et nul ailleurs, est propre pour $\omega=e^{2i\pi k/\ell}$. On obtient
$$\|y(t)\|^2=\sum_{\text{cycles}}\ \sum_{k=0}^{\ell-1}e^{2t\cos(2\pi k/\ell)}\cdot\frac1\ell\Big|\sum_{j=0}^{\ell-1}e^{-2i\pi jk/\ell}y_{a_j}(0)\Big|^2.$$

Notons $c_{\ell,k}$ les coefficients $\frac1\ell\big|\sum_j e^{-2i\pi jk/\ell}y_{a_j}(0)\big|^2$. La fonction $\|y\|^2$ est une somme d’exponentielles à coefficients $c_{\ell,k}\ge0$, donc elle admet une limite. Trois cas se présentent :

• La limite vaut $+\infty$ si l’un des $c_{\ell,k}$ est non nul pour un indice tel que $\cos(2\pi k/\ell)>0$.
  • Sinon, la limite est finie et vaut
  $$\lim_{t\to+\infty}\|y(t)\|=\Big(\sum_{\cos(2\pi k/\ell)=0}c_{\ell,k}\Big)^{1/2}.$$
• La limite vaut $0$ si, en plus, tous ces coefficients sont nuls.