Amplitude des racines d’un polynôme

Supposons que l’inégalité fonctionne pour toutes les racines de tous les polynômes complexes de degré supérieur ou égal à $1$.

Puis, toute racine $\lambda$ de $P(X):=\sum_{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$ est aussi une racine de $\alpha P$ où $\alpha$ est un nombre complexe non nul. Ainsi, si $\lambda$ est une solution de l’inégalité pour $P$, alors cela doit aussi être une solution pour $\alpha P$. Ainsi, pour tout $\alpha\in\mathbb{C}^{*}$:
$$\vert\lambda\vert \leqslant \vert\alpha\vert\,\sum_{i=0}^{n}\vert a_{i}\vert$$Mais alors, on peut faire tendre $\alpha$ vers $0$, donc $\lambda$ doit valoir $0$. Mais il existe des polynômes dont les racines ne sont pas $0$, ce qui fait une contradiction.