Annulateurs à gauche et à droite

Montrons que
$$B=0\qquad\text{ou}\qquad B\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}).$$Si $B=0$, alors $BA=0$ pour toute $A$. Si $B$ est inversible, l’égalité $AB=0$ donne $A=ABB^{-1}=0$, donc $BA=0$.

Montrons qu’aucune autre ne convient.
Supposons $B$ non nulle et non inversible, et posons $r=\operatorname{rg}B$, de sorte que $1\leqslant r\leqslant n-1$. Notons $V=\operatorname{Im}B$ et $W=\ker B$.

Comme $\dim V=r\leqslant n-1$, il existe un hyperplan $H\supseteq V$ ; soit $\varphi$ une forme linéaire non nulle de noyau $H$. Comme $B\neq 0$, on a $W\neq\mathbb{R}^{n}$ ; choisissons $u\notin W$, c’est-à-dire $Bu\neq 0$. Posons enfin
$$A=u\,\varphi,\qquad\text{c'est-à-dire}\qquad Ax=\varphi(x)\,u .$$

Alors $AB=0$ : pour tout $x$, on a $Bx\in V\subseteq H=\ker\varphi$, donc $ABx=\varphi(Bx)u=0$.

En revanche $BA\neq 0$ : en choisissant $x_0$ avec $\varphi(x_0)=1$, il vient
$$BAx_0=\varphi(x_0)\,Bu=Bu\neq 0 .$$

La matrice $B$ ne vérifie donc pas la propriété. $\blacksquare$