Annulation de Rådström

Solution pour 1. dans le cas où E est un espace vectoriel normé
Si $B$ est vide, il faut supposer $A$ vide pour que l’énoncé reste vrai (car $A=\{0\}$ convient aussi). Supposons donc $B$ non vide, et, par l’absurde, supposons qu’il existe $a \in A$ tel que $a \not\in B.$
Comme $B$ est un convexe fermé de l’espace normé $E$, il existe une fonction linéaire continue $\ell \colon E \longrightarrow \R$ et un réel $\lambda \in \R$ tels que $\ell(a)<\lambda$ et $\ell(b) \geq \lambda$ pour tout $b \in B.$
Soit $c_{0} \in C$ tel que $\ell(c) \geq \ell(c_{0})$ pour tout $c \in C$ ; c’est possible car $C$ est borné.
On a alors pour tous $b\in B$ et $c \in C$ :
$$\ell(a+c_{0}) < \lambda + \ell(c_{0}) \leq \lambda + \ell(c) \leq \ell(b) + \ell(c),$$ce qui montre que $a+c_{0} \not\in B+C,$ une contradiction.