Rådström cancellation

Solution pour 1. dans le cas où E est un espace vectoriel normé
Si $B$ est vide, il faut supposer $A$ vide pour que l’énoncé reste vrai (car $A=\{0\}$ convient aussi). Supposons donc $B$ non vide, et, par l’absurde, supposons qu’il existe $a \in A$ tel que $a \not\in B.$
Comme $B$ est un convexe fermé de l’espace normé $E$, il existe une fonction linéaire continue $\ell \colon E \longrightarrow \R$ et un réel $\lambda \in \R$ tels que $\ell(a)<\lambda$ et $\ell(b) \geq \lambda$ pour tout $b \in B.$
Soit $c_{0} \in C$ tel que $\ell(c) \geq \ell(c_{0})$ pour tout $c \in C$ ; c’est possible car $C$ est borné.
On a alors pour tous $b\in B$ et $c \in C$ :
$$\ell(a+c_{0}) < \lambda + \ell(c_{0}) \leq \lambda + \ell(c) \leq \ell(b) + \ell(c),$$ce qui montre que $a+c_{0} \not\in B+C,$ une contradiction.

1. Montrons par récurrence que $n A + C \subset n B + C$. Le cas $n = 1$ est précisément l’hypothèse $A + C \subset B + C$. Soit $n \geq 1$ et supposons l’inclusion vraie au rang $n$. Alors
   $$(n + 1) A + C = n A + A + C \subset n A + B + C \subset n B + B + C = (n + 1) B + C.$$L’inclusion est donc vraie pour tout $n \geq 1$.

Soit maintenant $a \in A$ et $c \in C$. On peut choisir un tel $c \in C$ car $C$ est non vide. Pour tout $n \geq 1$, on a $n a + c \in n A + C \subset n B + C$. Il existe donc des $(b_{k})_{1 \leq k \leq n}$ dans $B$ et $c_{n} \in C$ tels que
$$n a + c = \sum_{k = 1}^{n} b_{k} + c_{n}.$$En divisant par $n$, on réécrit $a = \beta_{n} + (c_{n} - c) / n$, où $\beta_{n}$ est le barycentre des $(b_{k})$. La convexité de $B$ assure que $\beta_{n} \in B$. Puisque $C$ est borné, la suite $(c_{n} - c)$ est bornée, et par conséquent $(c_{n} - c) / n$ tend vers $0$. Ainsi $(\beta_{n})$ tend vers $a$. Or $B$ est fermé et $\beta_{n} \in B$ pour tout $n \geq 1$, donc $a \in B$. Comme $a$ était arbitraire, on conclut que $A \subset B$.

2. Pour un contre-exemple, considérer $A = [0, 1]$, $B = \{0, 1\}$ et $C = [0, 1]$. On a bien $A + C = B + C = [0, 2]$ mais pas $A \subset B$.