Annulation de Rådström

1. Montrons par récurrence que $n A + C \subset n B + C$. Le cas $n = 1$ est précisément l’hypothèse $A + C \subset B + C$. Soit $n \geq 1$ et supposons l’inclusion vraie au rang $n$. Alors
   $$(n + 1) A + C = n A + A + C \subset n A + B + C \subset n B + B + C = (n + 1) B + C.$$L’inclusion est donc vraie pour tout $n \geq 1$.

Soit maintenant $a \in A$ et $c \in C$. On peut choisir un tel $c \in C$ car $C$ est non vide. Pour tout $n \geq 1$, on a $n a + c \in n A + C \subset n B + C$. Il existe donc des $(b_{k})_{1 \leq k \leq n}$ dans $B$ et $c_{n} \in C$ tels que
$$n a + c = \sum_{k = 1}^{n} b_{k} + c_{n}.$$En divisant par $n$, on réécrit $a = \beta_{n} + (c_{n} - c) / n$, où $\beta_{n}$ est le barycentre des $(b_{k})$. La convexité de $B$ assure que $\beta_{n} \in B$. Puisque $C$ est borné, la suite $(c_{n} - c)$ est bornée, et par conséquent $(c_{n} - c) / n$ tend vers $0$. Ainsi $(\beta_{n})$ tend vers $a$. Or $B$ est fermé et $\beta_{n} \in B$ pour tout $n \geq 1$, donc $a \in B$. Comme $a$ était arbitraire, on conclut que $A \subset B$.

2. Pour un contre-exemple, considérer $A = [0, 1]$, $B = \{0, 1\}$ et $C = [0, 1]$. On a bien $A + C = B + C = [0, 2]$ mais pas $A \subset B$.