Arithmétique ou géométrique ?

On change $n$ en $n+1$ dans la définition de $v_n$, ce qui donne $v_{n+1}=u_{n+1}+2$.
Il ne reste plus qu’à changer $u_{n+1}$ en sa formule, ce qui donne $v_{n+1}=(3u_n+4)+2=3u_n+6$.
Pour exprimer ce résultat en fonction de $v_n$, on reprend notre relation $v_n=u_n+2$ qui peut aussi s’écrire $u_n=v_n-2$ pour exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$.
Cela donne alors $v_{n+1}=3u_n+6=3(v_n-2)+6=3v_n$. Ainsi $(v_n)_n$ est géométrique de raison $3$ !

On a $v_0=u_0+2=2+2=4$. Par la formule des suites géométriques de raison $q$ (ici $q=3$), on trouve ainsi $v_n=v_0\,q^n=4\cdot 3^n$.

On rappelle la formule $u_n=v_n-2$ puis on utilise la question précédente pour trouver $u_n=4\cdot 3^n-2$. Ce qui est bien ce qu’on voulait !