Attention ce problème pourrait devenir une malédiction

This problem was submitted to “Pascal’s Ghost”.

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Le fantôme de Pascal viendra inlassablement tourmenter vos nuits de mathématicien tant que vous n’aurez pas démontré les deux relations bien mystérieuses suivantes (on utilisera la convention $0^{0}=1$ ):

pour $n$ entier $\geq 2$ :
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k^{k-1}(n-k-1)^{n-k-1}\cdot\binom{n}{k}=n^{n-1}$

pour $n$ entier $\geq 1$ :
$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}k^{k}(n-k)^{n-k-1}\cdot\binom{n}{k}=n^{n}$

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