Au pays des espaces de Banach séparables : épisode 2

Soit $K$ un compact préfaible de $X$. Comme $X$ est séparable, la boule unité de son dual est un compact métrisable, donc séparable. Soit $d : K \times K \longrightarrow \mathbb{R}$, définie par $(x,y) \mapsto \sum_{n \geq 0}2^{-n}\lvert f_{n}(x-y)\rvert$, où $(f_n)_n$ est une suite dense de $(B_{X^{*}},\sigma(X^{*},X))$.

• D’une part, $d$ est bien définie puisque tout compact préfaible est borné en norme.

• Ensuite, comme $B_{X^{*}} \longrightarrow \mathbb{R}$, $f \mapsto f(x)$ est préfaiblement continue, si $f_{n}(z) = 0$ pour tout $n$, $f(z) = 0$ pour tout $f \in B_{X^{*}}$, et par le théorème de Hahn-Banach, $z = 0$. De cela on déduit que $d$ est séparée. On vérifie facilement les autres axiomes d’une métrique.

• Supposons qu’on a montré que la topologie engendrée par $d$ est moins fine que la topologie faible sur $K$. Dans ce cas, $\mathrm{Id}_{K} : (K,\sigma(X,X^{*})) \longrightarrow (K,\tau_{d})$ est une bijection continue. Comme l’espace de départ est compact, c’est un homéomorphisme, et on déduit que $\tau_{d}$ (la topologie induite par $d$) est égale à la topologie trace de $\sigma(X,X^{*})$ sur $K$. Montrons donc que toute $d$-boule ouverte est un ouvert faible. Ceci revient à dire que, pour $x \in K$ fixé, $D : y \mapsto d(x,y)$ est préfaiblement continue.

• Soit $D_{n} : y \mapsto \sum_{0 \leq k \leq n}2^{-k}\lvert f_{k}(x-y) \rvert$. C’est clair que $D_{n}$ est une fonction continue sur $(K,\sigma(X,X^{*}))$ (puisque somme de fonctions continues). Puisque $\lvert D(y) - D_{n}(y) \rvert = \sum_{k > n} 2^{-n}\lvert f_{k}(x-y) \rvert \leq M \sum_{k > n}2^{-n}$ (où $M$ est une constante qui majore $K$ en norme) pour tout $y \in K$, on déduit que $D$ est limite uniforme de fonctions continues sur $(K,\sigma(X,X^{*}))$, $D$ est ainsi continue, et on déduit par le point précédent que la topologie de $d$ est moins fine que la topologie faible sur $K$, ce qui achève l’exercice.