Est-ce qu’une permutation peut sauver la série ?

La suite $(1/n^{2})_{n}$ est décroissante tandis que la suite $(n)_{n}$ est croissante. Par l’inégalité de réarrangement, on a
$$\sum_{k=1}^{n}\sigma(k)/k^{2} \ge \sum_{k=1}^{n} k/k^{2} = \sum_{k=1}^{n} 1/k.$$La suite étant minorée par la série harmonique, elle ne converge pas.