Caractérisation des $p$-groupes abéliens élémentaires v2

Si $G$ est de la forme $(\mathbb Z/p \mathbb Z)^{n}$ pour un certain $p$ premier et $n \geq 1$, considérons alors $G' = G \rtimes \mathbb F_{p^{n}}^{{\times}}$ où l’on identifie $G$ à la partie additive de $\mathbb F_{p^{n}}$ et où $\mathbb F_{p^{n}}^{{\times}}$ agit sur $G$ par multiplication, alors $G'$ est résoluble (Puisque $G$ et $G'/G$ le sont), évidemment fini, et tout sous-groupe normal $N$ de $G$ devant être stable sous l’action de $\mathbb F_{p^{n}}^{{\times}}$, on a $N = G$, d’où $G$ est minimial parmi les sous-groupes normaux de $G'$. La normalité de $G$ est claire.

Réciproquement, soit $M$ un sous-groupe normal minimal d’un goupe $G$ fini résoluble. Alors $H$ est résoluble, d’où $D(H) \neq H$. Mais le sous-groupe dérivé $D(H)$ est caractéristique dans $H$, et par normalité de $H$ dans $G$, on a alors par transitivité que $D(H)$ est normal dans $G$. Or, $M$ est minimal parmi les sous-groupes normaux de $G$, il s’ensuit que $D(H)$ est trivial, et donc $H$ est abélien. Soit $p$ un facteur premier divisant $|H|$, alors $H^p = \{h^{p} \mid h \in H\}$ est lui aussi caractéristique dans $H$, donc normal dans $G$, et donc $H^{p}$ est trivial (il ne peut valoir $H$ puisqu’il existe un élément d’ordre $p$ dans $H$). Ainsi, $H$ est bien abélien élémentaire.