Preuve du théorème

$\newline$

Question 1.1 - Existence de la borne inférieure

$\newline$

• $G \cap \mathbb{R}^{*}_{+}$ est non-vide. En effet, $G$ est non-réduit à $\{0\}$ par hypothèse, c’est-à-dire qu’il existe un élément $x$ de $G$ non-nul. Puisque $G$ est un groupe, donc stable par passage à l’opposée, $-x$ aussi est dans $G$. Parmi $x$ et $-x$, un de ces deux éléments est strictement positif donc un de ces deux éléments est bien dans $G \cap \mathbb{R}^{*}_{+}$.
• $G \cap \mathbb{R}^{*}_{+}$ est minorée par $0$.
  $\newline$
  Par la propriété de la borne inférieure, $G \cap \mathbb{R}^{*}_{+}$ admet une borne inférieure que l’on note $\alpha$.
  De plus $\alpha \ge 0$. En effet $0$ est un minorant de $G \cap \mathbb{R}^{*}_{+}$ et $\alpha$ est le plus grand minorant de $G \cap \mathbb{R}^{*}_{+}$.
  $\newline$

Question 1.2 - Cas monogène

$\newline$
Dans cette question seulement, on se place dans le cas où $\alpha > 0$.
$\newline$
Supposons par l’absurde que $\alpha \notin G \cap \mathbb{R}^{*}_{+}$.

Par caractérisation séquentielle de la borne inférieure, il existe une suite $(\alpha_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in (G \cap \mathbb{R}^{*}_{+})^{\mathbb{N}}$ qui converge vers $\alpha$.
$\newline$
Comme $\alpha$ minore $G \cap \mathbb{R}^{*}_{+}$, on a $\forall n \in \mathbb{N}, \alpha \le \alpha_{n}$. De plus, $\alpha$ n’est pas dans $G \cap \mathbb{R}^{*}_{+}$, on a plus précisément $\forall n \in \mathbb{N}, \alpha < \alpha_{n}$.

En prenant un epsilon $\varepsilon_{1} = \frac{\alpha} 2$ , on a, à partir d’un certain rang (APCR), $\alpha_{n} \in ]\alpha - \varepsilon_{1}, \alpha + \varepsilon_{1}[ = ]\frac {\alpha}{2}, \frac{3\alpha}{2}[$,
APCR, $\alpha_{n} \in ]\alpha, \frac{3\alpha}{2}[ \subset ]\alpha, 2\alpha[$. Ce qui assure l’existence d’un $\alpha_{n_{1}} \in ]\alpha, 2\alpha[$ avec un certain $n_{1} \in \mathbb{N}$.
$\newline$
En prenant un autre epsilon $\varepsilon_{2} = \frac{\alpha_{n_1} - \alpha}{2}$ , on a APCR, $\alpha_{n} \in ]\alpha, \alpha + \varepsilon_{2}[ = ]\alpha, \frac{\alpha_{n_{1}} + \alpha}{2}[ \subset ]\alpha, \alpha_{n_{1}}[$ . Ce qui assure l’existence d’un $\alpha_{n_2} \in ]\alpha, \alpha_{n_1}[$ avec un certain $n_{2} \in \mathbb{N}$.
$\newline$
On a en résumé : $\alpha < \alpha_{n_{2}} < \alpha_{n_{1}} < 2 \alpha$
$\newline$
Comme $\alpha_{n_{1}}$ et $\alpha_{n_{2}}$ sont dans $G$, $\alpha_{n_{1}} - \alpha_{n_{2}}$ est dans $G$ aussi car $G$ est un groupe.
De plus, par l’inégalité ci-dessus : $\alpha_{n_{1}} - \alpha_{n_{2}} \in ~ ]0, \alpha[$
Ainsi $\alpha_{n_{1}}- \alpha_{n_{2}} \in G \cap \mathbb{R}^{*}_{+}$ et $\alpha_{n_{1}} - \alpha_{n_2} < \alpha$.
Ce qui est contradictoire avec le fait que $\alpha$ minore tout élément de $G \cap \mathbb{R}^{*}_{+}$.
$\newline$
Ainsi nous avons montré que $\alpha \in G \cap \mathbb{R}^{*}_{+}$.
$\newline$
Comme $G$ est un groupe, $\forall n \in \mathbb{Z}, n \alpha \in G$. Ce qui signifie que $\alpha \mathbb{Z} \subset G$.
$\newline$
Montrons réciproquement que $G \subset \alpha \mathbb{Z}$
$\newline$
Soit $x \in G$
$\newline$
On pose $n = \lfloor \frac x {\alpha} \rfloor$,
on a l’encadrement suivant : $n \le \frac{x} {\alpha} < n + 1$ , c’est-à-dire $n \alpha \le x < n \alpha + \alpha$
ou encore $0 \le x - n\alpha < \alpha$
$\newline$
$x$ et $n \alpha$ sont dans $G$ donc $x - n\alpha$ est encore dans $G$ comme $G$ est un groupe.
$\newline$
Comme $\alpha$ minore $G \cap \mathbb{R}^{*}_{+}$, la seule valeur possible pour $x - n\alpha$ est $x - n\alpha = 0$.
Ce qui donne $x = n\alpha \in \alpha \mathbb{Z}$
$\newline$
Ainsi $G \subset \alpha \mathbb{Z}$
$\newline$

Par double-inclusion, on conclut que $G = \alpha \mathbb{Z}$.
$\newline$

Question 1.3 - Cas dense

$\newline$
Dans cette question seulement, on se place dans le cas où $\alpha = 0$.
$\newline$
On souhaite montrer que $G$ est dense. Soient $a$ et $b$ dans $\mathbb{R}$, montrons qu’il existe un élément de $G$ dans $]a,b[$.
$\newline$
Soit $\varepsilon = b - a$. $\varepsilon$ ne minore pas $G \cap \mathbb{R}^{*}_{+}$, il existe donc un $x \in G \cap \mathbb{R}^{*}_{+}$ strictement plus petit que $\varepsilon$.
$\newline$
Comme $G$ est un groupe et comme $\lfloor \frac a x \rfloor + 1\in \mathbb{Z}$, $(\lfloor \frac a x \rfloor +1) x \in G$. On note $y$ cet élément de $G$
$\newline$
Par encadrement de la partie entière :
$(\frac a x) x < (\lfloor \frac a x \rfloor + 1) x \le (\frac a x + 1) x$
$\newline$$a < y \le a + x < a + \varepsilon = b$
$\newline$
On conclut que $y \in ]a, b[$
$\newline$
$G$ est dense dans $\mathbb{R}$.
$\newline$

Quelques applications

$\newline$

Question 2.1 - Somme de deux groupes monogènes

Supposons d’abord que $\frac a b \in \mathbb{Q}$

Ils existent donc $p$ et $q$ dans $\mathbb{Z}^{*}$ premiers entre-eux tels que $\frac a b = \frac p q$.

Montrons que dans le cas où $\frac a b \in \mathbb{Q}$, $a \mathbb{Z} + b \mathbb{Z} = \frac b q \mathbb{Z}$

Soit $x \in a \mathbb {Z} + b \mathbb{Z}$
Ils existent $n_{1}$ et $n_{2}$ dans $\mathbb{Z}$ tels que $x= an_{1} + bn_{2}$
$\frac x b = \frac a b n_{1} + n_{2}$
$q\frac x b = p n_{1 } + qn_{2} \in \mathbb{Z}$
$x = \frac b q (pn_{1} + qn_{2}) \in \frac b q \mathbb{Z}$
$\newline$
Soit $x \in \frac b q \mathbb{Z}$
Il existe $n \in \mathbb{Z}$ tel que $x = \frac b q n$
Comme $p$ et $q$ sont premiers entre-eux, d’après le théorème de Bachet-Bézout, ils existent deux entiers $u$ et $v$ tels que $pu + qv = 1$
A partir de cette relation, $\frac b q n (pu + qv) = \frac b q n$
$a n u + bn v = x$
Nous avons bien $x \in a \mathbb{Z} + b\mathbb{Z}$
$\newline$
En conclusion nous avons $a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z} = \frac b q \mathbb{Z}$
$\newline$
Montrons maintenant la réciproque du théorème. On montre la contraposée de la réciproque.
$\newline$
Soit $\frac a b \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$
$\newline$
Supposons par l’absurde que $a \mathbb{Z} + b\mathbb{Z}$ est monogène, c’est-à-dire qu’il existe un réel positif $\alpha$ tel que $a \mathbb{Z} + b\mathbb{Z} = \alpha\mathbb{Z}$
$\newline$
$a = a \cdot 1 + b \cdot 0 \in a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z} = \alpha \mathbb{Z}$ donc il existe un entier $n_{1}$ tel que $a = n_{1} \alpha$
De même, il existe un entier $n_{2}$ tel que $b = n_{2} \alpha$
$\newline$
En passant au quotient, $\frac a b = \frac{n_{1} \alpha}{n_{2} \alpha} = \frac{n_{1}}{n_{2}} \in \mathbb{Q}$
Ce qui est contradictoire avec le fait que $\frac a b \notin \mathbb{Q}$
$\newline$
Ainsi on conclut grâce à la caractérisation des sous-groupes de $(\mathbb{R},+)$ que nous avons démontré en première partie de ce problème que $a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z}$ est dense dans $\mathbb{R}$.
$\newline$

Question 2.2 - Densité d’ensembles trigonométriques

$\newline$
Le résultat de la question précédente nous permet de dire que $\mathbb{Z} + 2\pi \mathbb{Z}$ et $\mathbb{Z} + \pi\mathbb{Z}$ sont dense dans $\mathbb{R}$ en admettant l’irrationnalité de $\pi$.
$\newline$
Montrons que l’ensemble $\{\cos(n) ~ ; ~n \in \mathbb{N} \}$ est dense dans $[-1,1]$.
Soit $x \in [-1,1]$. Montrons qu’il existe une suite d’éléments de cet ensemble convergeant vers $x$.
$\newline$
Par surjectivité de $\cos$ de $\mathbb{R}$ sur $[-1,1]$, il existe un $\theta \in \mathbb{R}$ tel que $x = \cos(\theta)$.
$\newline$
Par densité de $\mathbb{Z} + 2\pi\mathbb{Z}$ sur $\mathbb{R}$, il existe une suite $(\theta_{n})_{n} \in (\mathbb{Z} +2\pi\mathbb{Z})^{\mathbb{N}}$ qui converge vers $\theta$.
Comme, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\theta_n \in \mathbb{Z} +2\pi\mathbb{Z}$ , ils existent $a_{n} \in \mathbb{Z}$ et $b_{n} \in \mathbb{Z}$ telles ques $\forall n \in \mathbb{N}, \theta_{n} = a_{n} + 2\pi b_{n}$

Par continuité du cosinus : $\lim\limits_{n \to +\infty} \cos(\theta_{n}) = \cos(\theta) = x$

Par ailleurs, par $2\pi$-périodicité et par parité du cosinus : $\forall n \in \mathbb{N}, \cos(\theta_n) = \cos(a_n + 2\pi b_n) = \cos(|a_{n}|)$

Ainsi nous avons trouvé une suite d’éléments de $\{\cos(n) ~ ; ~n \in \mathbb{N} \}$ convergeant vers $x$, c’est la suite $(\cos(|a_{n}|))_{n}$
$\newline$
De même, on montre que $\{\sin(n) ~ ; ~n \in \mathbb{Z} \}$ et $\{\tan(n) ~ ; ~n \in \mathbb{Z} \}$ sont respectivement denses dans $[-1,1]$ et $\mathbb{R}$ en utilisant respectivement la $2\pi$-périodicité du sinus et la $\pi$-périodicité de la tangente.