Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/General algebraExerciseUnreviewed

Caractérisations et propriétés des sous-groupes distingués

by SalixBabylonica·
34
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

This score reflects both the level of the required concepts and the difficulty of the solution.Ce score tient compte à la fois du niveau des notions nécessaires et de la difficulté de la résolution.

  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
These levels are approximate guides.Ces niveaux sont des repères approximatifs.
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Soit (G,∗)(G,*) un groupe et HH un sous-groupe de GG.

Démontrez les 33 propriétés suivantes :

  1. H est distingueˊ dans G  ⟺  ∀x∈G,x−1Hx⊂H,H \text{ est distingué dans } G \iff \forall x \in G, \quad x^{-1}Hx \subset H,
  2. H est distingueˊ dans G  ⟺  ∀x∈G,x∗H=H∗x,H \text{ est distingué dans } G \iff \forall x\in G, \quad x*H=H*x,
  3. G est abeˊlien   ⟹   tout sous groupe H de G  est distingueˊ.G \text{ est abélien } \implies \text{ tout sous groupe } H \text{ de G } \text{ est distingué.}
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