Carrés de la forme $aabb$

Preuve en vidéo : https://youtu.be/8sJcgeUPAvk
On écrit $n=(aabb)_{10}=10^3a+10^2a+10b+b=10^2\times 11a+11b=11(10^2a+b).$ On remarque alors que $11\mid n$. Mais si $n$ est un carré parfait alors $11^2\mid n$ car la valuation de $11$ dans la factorisation de $n$ doit être paire. Ceci signifie que $11\mid 10^2a+b$. En réduisant modulo $11$ on a donc
$$10^2a+b\equiv (-1)^2a+b\equiv a+b\equiv 0\mod 11.$$ Puisque $0\leq a,b\leq 9$ on a nécessairement $a+b=0$ ou $a+b=11$. Si $a+b=0$ alors $a=b=0$ donc $n=0$ qui est un carré parfait. Sinon, $a+b=11$ (cela impose $2\leq a,b\leq 9$) donc $n=11(10^2a+11-a)=11^2(9a+1).$ Mais alors $n$ est un carré parfait si et seulement si $9a+1$ en est un. Il suffit de tester toutes les possibilités
$$\begin{array}{c|cccccccc} a & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline 9a+1 & 19 & 28 & 37 & 46 & 55 & 64 & 73 & 82 \end{array}$$ Une seule valeur donne un carré parfait : $a=7$ on a $9a+1=64=8^2$. On peut donc en déduire que $7744=11^2\times 8^2=88^2.$ Les solutions sont donc
$$\set{0,7744}.$$