Ce que n'est pas un sous-groupe de $\mathbb{R}$

Soit $G$ un sous-groupe strict de $(\mathbb{R},+).$ Montrer que $\mathbb{R}\setminus G$ n’est pas dénombrable.

I solved itMark it done Add to my listKeep it in your list

I like this problem8 likes

Liked by

References

Oral ENS filière MP 2018 (RMS 129-2 17)

Details

Download: BibTeX JSON

Hints

Hint 1

Open this only if you want a small nudge before looking at the solutions.

Solutions

Reveal solutionsAre you sure? Give it a try first.

Community accepted

Solution by FiniteField

Discussions4 useful votes

Solution en vidéo : https://youtu.be/QCiidkw7dsk
Distinguons deux cas.
Cas 1 : $G$ dénombrable
On a $\mathbb{R}=G\cup (\mathbb{R}\setminus G)$ et l’union de deux ensembles ensembles dénombrables est dénombrable et $\mathbb{R}$ n’étant pas dénombrable $\mathbb{R}\setminus G$ n’est pas dénombrable.
Cas 2 : $G$ non dénombrable.
Par hypothèse il existe $y\in \mathbb{R}\setminus G.$ On remarque que pour $x\in G, x+y\notin G$ car sinon, par stabilité par somme et opposé de $G$ , on aurait $x+y-x=y\in G.$ L’application
$\begin{array}{rrl}\varphi\colon & G&\longrightarrow &\mathbb{R}\setminus G\\ &x &\longmapsto &x+y\end{array}$ est alors bien définie et évidemment injective. Par conséquent $G$ qui est non dénombrable s’injecte dans $\mathbb{R}\setminus G$ donc il est lui-même non dénombrable.

Solution by La chouette aveugle

Discussions1 useful vote

Voici une solution de la theorie descriptive. Supposons par l’absurde que $\mathbb{R}\setminus G$ est dénombrable. Par consequent, $G$ est un sous-groupe borélien de $(\mathbb{R},+)$ . Par le lemme de Pettis, $G$ est ou bien ouvert, ou bien maigre. Mais si $G$ est ouvert, $G=\mathbb{R}$ , puisqu’en effet il existe $\varepsilon >0$ tel que $[-\varepsilon,\varepsilon] \subset G$ , et pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $[-n\varepsilon,n \varepsilon] \subset G$ . Ainsi $G$ est maigre, ce qui est absurde, puisque si $\mathbb{R}\setminus G$ est dénombrable, il est maigre, et alors $\mathbb{R} = \emptyset$ par le lemme de Baire. Ainsi $\mathbb{R}\setminus G$ est indénombrable.

Report