Ce que n’est pas un sous-groupe de $\mathbb{R}$

Solution en vidéo : https://youtu.be/QCiidkw7dsk
Distinguons deux cas.
Cas 1 : $G$ dénombrable
On a $\mathbb{R}=G\cup (\mathbb{R}\setminus G)$ et l’union de deux ensembles ensembles dénombrables est dénombrable et $\mathbb{R}$ n’étant pas dénombrable $\mathbb{R}\setminus G$ n’est pas dénombrable.
Cas 2 : $G$ non dénombrable.
Par hypothèse il existe $y\in \mathbb{R}\setminus G.$ On remarque que pour $x\in G, x+y\notin G$ car sinon, par stabilité par somme et opposé de $G$, on aurait $x+y-x=y\in G.$ L’application
$$\begin{array}{rrl}\varphi\colon & G&\longrightarrow &\mathbb{R}\setminus G\\ &x &\longmapsto &x+y\end{array}$$est alors bien définie et évidemment injective. Par conséquent $G$ qui est non dénombrable s’injecte dans $\mathbb{R}\setminus G$ donc il est lui-même non dénombrable.