Ce que n’est pas un sous-groupe de $\mathbb{R}$

Voici une solution de la theorie descriptive. Supposons par l’absurde que $\mathbb{R}\setminus G$ est dénombrable. Par consequent, $G$ est un sous-groupe borélien de $(\mathbb{R},+)$. Par le lemme de Pettis, $G$ est ou bien ouvert, ou bien maigre. Mais si $G$ est ouvert, $G=\mathbb{R}$, puisqu’en effet il existe $\varepsilon >0$ tel que $[-\varepsilon,\varepsilon] \subset G$, et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $[-n\varepsilon,n \varepsilon] \subset G$. Ainsi $G$ est maigre, ce qui est absurde, puisque si $\mathbb{R}\setminus G$ est dénombrable, il est maigre, et alors $\mathbb{R} = \emptyset$ par le lemme de Baire. Ainsi $\mathbb{R}\setminus G$ est indénombrable.