Ceci n’est pas un changement de variable

il suffit, pour résoudre ce problème, de montrer que $\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}-\ln(1-\frac{1}{(x+k)^{2}})=\ln(1+\frac{1}{x})$

En dérivant chaque membre, on conclut aisément que cette égalité est vraie à une constante près.

En prenant $x=1$ et en utilisant le produit infini de $\displaystyle\sin(\pi x)=\pi x\prod_{k=1}^{+\infty}(1-\frac{x²}{k²})$ on en conclut que cette constante est nulle.