Théorème de Cesàro

Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite de nombres complexes telle que $\lim_{n \to \infty} a_n = \ell \in \mathbb{C}$. Alors :

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k = \ell$$

En posant $\forall n \in \N^{*}, b_n = a_n - \ell$, nous pouvons supposer sans perte de généralité que $\ell = 0$.

Soit $\varepsilon > 0$. Puisque $b_n \to 0$, il existe $N \in \mathbb{N}^*$ tel que :

$$\forall k > N, \quad |b_k| \le \frac{\varepsilon}{2}$$

Pour tout $n > N$, on sépare la somme en deux :

$$\left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n b_k \right| \le \frac{1}{n} \sum_{k=1}^N |b_k| + \frac{1}{n} \sum_{k=N+1}^n |b_k| \le \frac{M_N}{n} + \frac{n - N}{n} \frac{\varepsilon}{2} < \frac{M_N}{n} + \frac{\varepsilon}{2}$$

où $M_N = \sum_{k=1}^N |b_k|$ est une constante fixée indépendante de $n$.

Puisque $\lim_{n \to \infty} \frac{M_N}{n} = 0$, il existe $N' \ge N$ tel que :

$$\forall n > N', \quad \frac{M_N}{n} < \frac{\varepsilon}{2}$$

Donc, pour tout $n > N'$:

$$\left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k - \ell \right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$

Pour la deuxième question, même raisonnement

Comme contre-exemples, on peut considérer $u_{n}=(-1)^{n}$ et $f=sin$.

Toutefois, ils existent quelques reciproques lorsqu’une suite / fonction est réelle et monotone (ou plus généralement si on sait déjà qu’elle a une limite - finie ou non).