Théorème de Cesàro

Soit $u$ une suite complexe convergeant vers un complexe $l$ . Montrer que
$\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}u_{k}\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}l.$
Soit $f$ une fonction complexe continue telle que $f(x)\underset{x\to+\infty}{\longrightarrow}l$ avec $l\in\mathbb{C}$ . Montrer que
$\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t\underset{x\to+\infty}{\longrightarrow}l.$
A-t-on la réciproque d’une des propositions précédentes ? Autrement dit, est-ce que la convergence en valeur moyenne implique toujours la convergence de la suite / fonction continue considérée ?

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Anduril@anduril

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Solution by Anduril · translated by darktoaster

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Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite de nombres complexes telle que $\lim_{n \to \infty} a_n = \ell \in \mathbb{C}$ . Alors :

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k = \ell$

En posant $\forall n \in \N^{*}, b_n = a_n - \ell$ , nous pouvons supposer sans perte de généralité que $\ell = 0$ .

Soit $\varepsilon > 0$ . Puisque $b_n \to 0$ , il existe $N \in \mathbb{N}^*$ tel que :

$\forall k > N, \quad |b_k| \le \frac{\varepsilon}{2}$

Pour tout $n > N$ , on sépare la somme en deux :

$\left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n b_k \right| \le \frac{1}{n} \sum_{k=1}^N |b_k| + \frac{1}{n} \sum_{k=N+1}^n |b_k| \le \frac{M_N}{n} + \frac{n - N}{n} \frac{\varepsilon}{2} < \frac{M_N}{n} + \frac{\varepsilon}{2}$

où $M_N = \sum_{k=1}^N |b_k|$ est une constante fixée indépendante de $n$ .

Puisque $\lim_{n \to \infty} \frac{M_N}{n} = 0$ , il existe $N' \ge N$ tel que :

$\forall n > N', \quad \frac{M_N}{n} < \frac{\varepsilon}{2}$

Donc, pour tout $n > N'$ :

$\left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k - \ell \right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$

Pour la deuxième question, même raisonnement

Comme contre-exemples, on peut considérer $u_{n}=(-1)^{n}$ et $f=sin$ .

Toutefois, ils existent quelques reciproques lorsqu’une suite / fonction est réelle et monotone (ou plus généralement si on sait déjà qu’elle a une limite - finie ou non).

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