C’est chaud pour Lagrange.

https://mathoverflow.net/questions/515121/lagrange-on-magma

On note $x \equiv y$ ssi $<x>=<y>$ c’est une relation d’équivalence et $C(x)$ la classe d’équivalence de $x$.
On note $x \geq y$ ssi $<y>\subset <x>$, c’est un ordre sur la relation d’équivalence.

Le but est de montrer que $\forall x \in M, |C(x)| \mod n=0$

Pour cela on va faire une récurrence sur $k$ le nombre de classe strictement plus petite qu’une certaine classe $C(x)$.

HR(0) : soit $C(x)$ avec 0 classe strictement plus petite alors $C(x)=<x>$ et donc $|C(x)| \mod n=0$

HR(k): On suppose que pour toute classe $C(x)$ qui a au plus $k$ classe strictement plus petite, alors $|C(x)| \mod n=0$.

Montrons HR(k+1) : Soit $C(x)$ avec $k+1$ classe strictement plus petite $C(y_{1}),...,C(y_{k+1})$.
On a $<x>=C(x) \cup C(y_{1}) \cup... C(y_{k+1})$ union disjointe donc $|<x>|=|C(x)|+|C(y_{1})|+...+|C(y_{k+1})|$, on a deplus les $C(y_{i})$ qui ont au plus $k$ classes strictement plus petites, donc $|C(y_{i})| \mod n =0$ par HR(k), et d’aprés l’énoncé $|<x>| \mod n=0$ donc $|C(x)| \mod n =0$.