Cet ensemble est il connexe par arcs ?

Montrons que $A$ est connexe par arcs.
Soient $a,b\in A$. Alors il existe $\alpha,\beta>0$ tels que
$$a=\left(\alpha,\sin\left(\frac{1}{\alpha}\right)\right), \qquad b=\left(\beta,\sin\left(\frac{1}{\beta}\right)\right).$$Posons $\gamma : 0,1\longrightarrow A$ définie par
$$\gamma(t) = \left( (1-t)\alpha+t\beta, \sin\!\left(\frac{1}{(1-t)\alpha+t\beta}\right) \right).$$Comme $\alpha>0$ et $\beta>0$, on a
$$(1-t)\alpha+t\beta>0, \qquad \forall t\in[0,1].$$Ainsi, $\gamma(t)$ est bien définie pour tout $t\in[0,1]$ et $\gamma(t)\in A.$
De plus, les applications
$$t\longmapsto (1-t)\alpha+t\beta, \qquad x\longmapsto \frac1x, \qquad x\longmapsto \sin(x)$$sont continues sur leurs domaines respectifs ; par composition, $\gamma$ est continue.
Enfin,
$$\gamma(0) = \left(\alpha,\sin\left(\frac1\alpha\right)\right) = a,$$et
$$\gamma(1) = \left(\beta,\sin\left(\frac1\beta\right)\right) = b.$$Ainsi, $\gamma$ est un chemin continu joignant $a$ à $b$ dans $A$. Par conséquent, $A$ est connexe par arcs.