Exemples d’opérations commutatives

1. Prenons $a=0$ et $b=1$, alors $a*_1b=a-b=0-1=-1$ mais $b*_1a=b-a=1-0=1\neq a*_1b$ donc $*_1$ n’est pas commutative.

2. Prenons $a=1$ et $b=0$, alors $a*_2b=2^{a-b}=\frac{1}{2}$ mais $b*_1a=2^{b-a}=2\neq a*_2b$ donc $*_2$ n’est pas commutative.

3. Cette opération est commutative. En effet, si on considère $a,b\in\mathbb{Q}^*$, on obtient :

$$b*_3a=\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=a*_3b,$$ce qui est exactement ce que l’on voulait !