Continuité de la décomposition de Dunford

NB : On sera amené à noter $\lambda, \mu$ les valeurs propres de $M$ et $\lambda', \mu'$ les valeurs propres d’une autre matrice $M'$.

Solution de 1.

a) Si $\lambda \neq \mu$, $M$ est diagonalisable et le couple $(M, 0)$ convient. Inversement, si le couple $(D_{M}, N_{M})$ convient, les matrices $M$ et $D_{M}$ commutent et sont codiagonalisables, de sorte que $N_{M} = M - D_{M}$ soit diagonaliable. Étant nilpotente, elle est nulle, d’où l’unicité dans ce cas.

b) Si $\lambda = \mu$, le couple $(\lambda I_{2}, M - \lambda I_{2})$ convient. Inversement, si le couple $(D_{M}, N_{M})$ convient, une coréduction de $D_{M}$ et $N_{M}$ justifie que $D_{M}$ a le même spectre que $M$, donc que $D_{M} = \lambda I_{2}$, d’où l’unicité à nouveau.

Solution de 2.

On démontre que les points de continuité de l’application étudiée sont exactement les matrices diagonalisables.

a) D’abord, si $M$ n’est pas diagonalisable, i.e. $N_{M} \neq 0$, on peut remarquer que $M$ est limite de matrices diagonalisables $M_{k}$ (argument de densité) i.e. telles que $N_{M_{k}} = 0$, d’où la discontinuité.

b) Supposons $\lambda \neq \mu$ (en particulier, $M$ est diagonalisable). Remarquons via le polynôme caractéristique que $\lambda \neq \mu$ si et seulement si $(\mathrm{Tr}\,M)^{2} - 4 \det M \neq 0$ ; de telles matrices forment donc un ouvert de $\mathcal{M}_{2}(\mathbf{C})$. En particulier, $N_{M'} = N_{M} = 0$ dès que $M'$ est suffisamment proche de $M$, d’où la continuité.

c) Supposons enfin $\lambda = \mu$ et $M$ diagonalisable, c’est-à-dire $M = \lambda I_{2}$. Si $M' \in \mathcal{M}_{2}(\mathbf{C})$ et $\lambda ' \neq \mu'$, on remarque que $D_{M} - D_{M'} = M-M'$. Sinon, $\lVert D_{M} - D_{M'} \rVert_{1} = |\mathrm{Tr}\, M - \mathrm{Tr}\, M'|$ en notant $\lVert \cdot \rVert_{1}$ la norme $1$ standard de $\mathcal{M}_{2}(\mathbf{C})$. Dans tous les cas : $D_{M'} \to D_{M}$ quand $M' \to M$, ce qui conclut.