Convergence de la suite $u_n = \frac{1}{n+1}$

On veut montrer que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.
Autrement dit, on veut montrer que :
$$\forall \epsilon > 0, \, \exists N \in \mathbb{N}, \, \forall n\ge N, \, |u_{n}-0|\le\epsilon.$$

Soit $\varepsilon > 0$ fixé.
On a, pour tout entier $n \geq 0$,
$$|u_n - 0| = \left|\frac{1}{n+1}\right| = \frac{1}{n+1},$$

Nous cherchons donc $N\in \mathbb{N}$ tel que, pour tout $n \geq N$,
$$\frac{1}{n+1} \le \varepsilon.$$

Cette inégalité est équivalente à
$$n+1 \ge \frac{1}{\varepsilon} \quad \Longleftrightarrow \quad n \ge \frac{1}{\varepsilon} - 1.$$

Il suffit alors de choisir un entier $N$ vérifiant
$$N \geq \frac{1}{\varepsilon} - 1.$$

Par exemple, on peut prendre
$$N = \left\lceil \frac{1}{\varepsilon} - 1 \right\rceil,$$

où $\lceil x \rceil$ désigne le plus petit entier supérieur ou égal à $x$ ($\lceil x \rceil \ge x$ ).
Ainsi, pour tout $n \geq N$, on a
$$n \ge \frac{1}{\varepsilon} - 1 \quad \Rightarrow \quad n+1 \ge \frac{1}{\varepsilon} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{n+1} \le \varepsilon.$$

Donc, on vient de démontrer que
$$\forall \epsilon>0, \, \exists N \in \mathbb{N}, \, \forall n \ge N, \, |u_n - 0| \le \varepsilon.$$

C’est la définition de la convergence et cela montre que la suite $(u_n)$ converge vers $0$ :
$$\boxed{\lim_{n \to +\infty} u_n = 0.}$$