Degré de l’extension $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$

Montrons que la famille $(\ln p)_{p\in\mathbb{P}}$ est libre sur $\mathbb{Q}$.
Soient $p_1,\dots,p_n$ des premiers deux à deux distincts et $\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{Q}$ tels que $\sum_i\lambda_i\ln p_i=0$. En multipliant par un dénominateur commun, on se ramène à des entiers $a_i\in\mathbb{Z}$ vérifiant $\sum_i a_i\ln p_i=0$, c’est-à-dire
$$\prod_{i=1}^{n}p_i^{a_i}=1 .$$En séparant les exposants positifs des négatifs, on obtient une égalité entre deux entiers naturels
$$\prod_{a_i>0}p_i^{\,a_i}=\prod_{a_i<0}p_i^{\,-a_i},$$dont les supports premiers sont disjoints. L’unicité de la décomposition en facteurs premiers force ces deux produits à être vides, donc $a_i=0$ pour tout $i$, puis $\lambda_i=0$. $\blacksquare$

L’ensemble $\mathbb{P}$ étant infini, la question 1 fournit une famille libre infinie : $\dim_{\mathbb{Q}}\mathbb{R}$ est infinie. $\blacksquare$