Dénombrabilité de points de discontinuité

En faisant un dessin, on remarque que les point de discontinuité et la croissance de la fonction créent des intervalles non atteints par la fonction $f$. Caractérisons alors les points de discontinuité de $f$ par des points bien choisis dans ces intervalles. Par exemple, on pourrait choisir le milieu de l’intervalle.

On note $\mathcal{D}=\{x\in \mathbb{R}, f(x) \text{ n'est pas continue en } x\}$ l’ensemble des points de discontinuité de $f$.

Soit l’application:
$$\Phi:\begin{cases} \mathcal{D} \longrightarrow \mathbb{Q} \\ x \longmapsto q_{x} \end{cases}$$où, pour tout $x_{0}$ réel,$f(x_{0}^{+})=\lim_{x \to x_{0}+} f(x)$ et$f(x_{0}^{-})=\lim_{x \to x_{0}-} f(x)$
$$q_{x}=\min_{n\in\mathbb{N}} \{q=\frac{\lfloor 10^{n} \frac{f(x^{+})+f(x^{-})}{2} \rfloor}{10^{n}} / q \in ]f(x^{-}),f(x^{+})[ \}$$Cette expression, bien que d’expression barbare, est en fait logiquement simple: on cherche à approcher par des rationnels le milieu du segment non atteint par discontinuité. Graphiquement:

Naturellement, la fonction $\Phi$ est injective: s’il existait $x_1$ et $x_2$ deux points de discontinuité tel que $q_{x_1}=q_{x_2}$, alors cela signifierait que les intervalles non atteints par $f$ causés par la discontinuité en $x_{1}$ et $x_2$ ne seraient pas disjoints. Comme la fonction $f$ est croissante, alors nécessairement $x_{1}=x_{2}$.

Ainsi la fonction $\Phi$ restreinte à son image est bijective, et $\Phi(\mathcal{D}) \subset \mathbb{Q}$, donc l’image de $\Phi$ est au plus dénombrable comme partie de $\mathbb{Q}$ dénombrable.
Donc il vient que $\mathcal{D}$ est au plus dénombrable.