Densité et convexité

Comme énoncé dans l’indication $2$, on considère un élément $x$ de $\R^d$. On note aussi $e_i$ le $i$-ème vecteur de la base canonique de $\R^d$.
On considère l’application qui a $2d$ points $x_1,\dots,x_{2d}$ associe les $2d$ aires orientées (donc le déterminant) des $d+1$ gones formés par $x,x_i, \dots, x_{i+d}$ (indices pris modulo $2d$. Cette application est continue car le déterminant l’est. On peut ainsi considérer $\frac12>\varepsilon>0$ et $\delta>0$ associé tel qu’une variation de $\delta$ des $2d$ points $x_i:=x+e_i, x_{d+i}:=x-e_i$ ne changera pas de plus de $\varepsilon$ le quadruplet des aires précisées plus haut. Notons d’ailleurs que ces aires valent toutes $\frac12$ dans ce cas particulier, d’où le choix de $\varepsilon$.

Considérons ainsi $y_1,\dots,y_{2d}$ dans $A$, partie dense de $\R^d$, qui approchent respectivement $x_1,\dots,x_{2d}$ à $\delta$ près. Ainsi, par ce qu’on a expliqué plus haut, les déterminants des aires des $d+1$ formés par $x, y_i,\dots,y_{i+d}$ ne varient pas plus d'$\varepsilon$ par rapport aux aires des $2d$ gones formés avec les $x_i$ plus haut. En particulier, ces aires orientées sont toujours positives.
On en conclut que $x$ se situe toujours à droite des polygones issues des hyperplans affines contenant $x_i,\dots,x_{i+d}$.
En particulier, $x$ appartient au polygone de sommets $y_1,\dots,y_{2d}$ (soit leur enveloppe convexe) qui appartient à $A$ car $A$ est une partie convexe de $\R^d$.

Enfin, $x$ est considéré quelconque donc $A=\R^d$. La réciproque étant évidente car $\R^d$ est convexe et dense dans lui-même, cela conclut.