Des parties non connexes de $\mathbb{R}$

Notons $E_{1}=\{0,1\}$, $E_{2}=\mathbb{N}$ et $E_{3}=\mathbb{Q}$. Ces parties de l'espace métrique $\mathbb{R}$ pourront être considérées comme des espaces métriques muni de la distance induite correspondantes.

1. Justifier que $\{0\}$ est ouvert dans $E_{1}$ et $E_2$ mais n’est pas ouvert dans $E_{3}$.
2. En déduire que $E_{1}$ et $E_2$ ne sont pas des espaces connexes.
3. Justifier que $A=\{x\in E_{3} \, | \, x^{2}> 2 \}$ et $B=\{x\in E_{3}\, | \, x^{2}\le 2 \}$ sont des ouverts de $E_{3}$(il n’y a pas d’erreurs sur $B$!). En justifiant, que peut on en déduire sur $E_{3}$?
4. Soit $C$ une partie de $E_{3}$ contenant au moins deux éléments distincts $a$ et $b$, montrez que $C$ n’est pas connexe. Quels sont alors les connexes non vides de $E_{3}$?