Des pièces dans la rivière

Dans un ancien royaume vivaient autrefois vingt vieux seigneurs, tous également riches.

D’année en année, l’un d’eux venait à mourir. Ses pièces d’or étaient alors partagées équitablement entre les seigneurs encore en vie. Il était convenu que les pièces ne pouvant pas être réparties équitablement étaient jetées dans la rivière, afin d’éviter les conflits.

Le temps s’écoula ainsi jusqu’à ce qu’il ne restât plus qu’un seul seigneur.

Bien des années plus tard, on retrouve deux chroniques relatant ces événements.
Selon la première chronique, 172 pièces d’or furent retrouvées dans la rivière.
Selon la seconde chronique, aucune pièce d’or ne fut jamais jetée à la rivière.

Laquelle des deux chroniques était nécessairement fausse ?
En supposant l’autre chronique vraie, quelle était, au minimum, la fortune de chacun des vingt seigneurs ?

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Solution by Vintz

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Après la mort du premier seigneur, sa fortune doit se partager parmi les 19 restants. La division euclidienne nous assure que le reste est inférieur à 18.
A la mort du second, c’est au maximum 17 pieces qui seront ajoutées.
Ainsi de suite jusqu’à la mort de l’ante penultième ou un maximum de 1 pièce sera jetée a la rivière puisque seulement deux seigneurs resteront en vie.
Ainsi au maximum, 171 pièces seront dans la rivière. La première chronique était une "fake news"😉.

Si chaque seigneur ne possédait aucune pièce le processus de partage conduit effectivement à l’absence de pièce dans la rivière.

Si ce minimum paraissait trop trivial, on pourrait chercher le minimum "vital" pour des seigneurs qui ne se seraient pas retrouvés dans le plus grand dénuement.

Initialement il y a une somme totale de pièce que l’on peut noter $S$ . On suppose dorénavant que $S\neq0$ .
Dans la mesure ou les 20 seigneurs possèdent un nombre égal de pièce $20\mid S$ . De même après la mort du premier seigneur, les 19 restant se partagent la somme totale (aucune pièce dans la rivière) donc $19\mid S $.
Au final, la plus petite somme totale divise $2,3,...,20$ . $S=ppcm(2,3,...20)$ . La plus petite somme individuelle que les 20 seigneurs doivent posséder initialement est donc :
$s=\frac{ppcm(2,3,...,20)}{20}=11639628\;\text{pièces}$

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