Des vaches à la (même) masse

Notons $X=(p_1,\dots,p_{2n+1})^T$ le vecteur colonne des poids des vaches. Par hypothèse il existe une matrice $A=\begin{pmatrix} 0 & \pm 1 & \cdots & &\pm 1\\\pm 1 & 0 & \cdots &&\pm 1\\\vdots & & \ddots & & \vdots \\ \pm 1& & & 0 & \pm 1 \\\pm 1 & \pm 1 & \cdots &\pm 1 &0\end{pmatrix}\in\ M_{2n+1}(\mathbb{R})$ de diagonale nulle, contenant $n$ coefficients $1$ et $n$ coefficients $-1$ par ligne telle que $AX=0.$ Par ailleurs, puisqu’il y a autant de $1$ que de $-1$ par ligne le vecteur $(1,\dots,1)$ est aussi dans le noyau de $A.$ On remarque aussi que $\chi_A$, le polynôme caractéristique de $A$, est à coefficients dans $\mathbb{Z}$. On note alors $\overline{A}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & \cdots & 1\\1 & 0 & \cdots & 1\\ \vdots & & \ddots & \vdots \\1 & 1 & \cdots & 0\end{pmatrix}\in\ M_{2n+1}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$
la matrice obtenue en réduisant modulo $2$ ses coefficients. On note aussi $\overline{\chi_A}\in\left(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\right)[X]$ le polynôme obtenu en réduisant modulo $2$ les coefficients de $\chi_A$. Par propriétés du déterminant on a $\overline{\chi_A}=\chi_{\overline{A}}.$ On peut expliciter sans calcul $\chi_{\overline{A}}$ en remarquant que $1$ est une valeur propre de multiplicité au moins $2n$ car $\overline{A}-I_{2n+1}$ est de rang $1$ donc $\dim(\ker(\overline{A}-I_{2n+1}))=2n$. Puisque la somme des valeurs propres est égale à la trace alors la valeur propre $\lambda$ manquante satisfait $\lambda+\underbrace{1+\cdots+1}_{2n\text{ fois}}=0\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$
donc $\lambda=0.$ On en déduit que $\chi_{\overline{A}}=X(X-1)^{2n}.$ Si la multiplicité de $0$ dans $\chi_A$ était supérieure à $2$ on pourrait l’écrire $\chi_A=X^2Q$ avec $Q\in \mathbb{Z}[X]$ ce qui impliquerait que $\chi_{\overline{A}}=X^2\overline{Q}\in(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})[X]$ ce qui est absurde. Ainsi $1\geq \dim(\ker(A))\geq 1$ donc $\dim(\ker(A))=1$ et $(p_1,\dots,p_{2n+1})\in \operatorname{Vect}((1,\dots,1))$, i.e. tous les vaches pèsent le même poids.