Des vaches trop gourmandes

L’herbe d’une prairie pousse de manière uniforme et rapide. On sait que 70 vaches peuvent la brouter en 24 jours, tandis que 30 vaches peuvent le faire en 60 jours.

Combien de vaches faudrait-il pour brouter toute l’herbe de la prairie en 96 jours ?

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Yakov Isidorovich Perelman — Algebra Can Be Fun

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« Algebra can be fun » ou « l'algèbre récréative » est un livre de Yakov Isidorovich Perelman.

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Solution by cedre

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Admettons qu’une vache consomme 1 unité d’herbe par jour.

Appelons $r$ la repousse d’herbe par jour en unité de consommation de vache.

Attention : il ne faut pas oublier que les vaches ne sont pas initialement placées dans une prairie rase, sinon que mangeraient-elles ? Ainsi, la prairie contient une quantité initiale $q$ d’herbe en unités de consommation d’une vache par jour. Si $r = 20$ et si l’herbe ne repoussait pas, il faudrait 20 jours à une seule vache pour obtenir une prairie rase, sans herbe.

Avec ces notations, on peut déterminer $q$ et $r$ en résolvant le système de deux équations à deux inconnues suivant :

Première équation (70 vaches peuvent la brouter en 24 jours) :

$q + 24 \times r - 70 \times 24 = 0$

Deuxième équation (30 vaches peuvent le faire en 60 jours) :

$q + 60 \times r - 30 \times 60 = 0$

D’où on tire $q = 1600$ et $r =3,333$

La question revient à poser l’équation :

$q + 96 \times 3,333 - 96 \times n = 0$

D’où l’on tire $n = 20$ .

Il faut donc 20 vaches pour brouter la prairie en 96 jours.

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