Déterminant d’une matrice circulante

Soit $n>0$ un entier et $J:=(\delta_{i+1,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$, où l’indice $i$ est considéré modulo $n$. On entend par là que $J$ vaut la matrice
$$J:=\begin{pmatrix} 0 & 1 & & & (0)\\ & 0 & 1 & & \\ & & \ddots&\ddots & \\ &(0) & & \ddots& 1\\ 1 & & & & 0 \end{pmatrix}.$$

1. Soient $a_0,\dots, a_{n}$ des complexes et la matrice dite circulante :
   $$M(a_0,\dots,a_n):=(a_{j-i})_{1\leqslant i,j\leqslant n}=\begin{pmatrix} a_0 & a_1 & \dots & \dots & a_{n}\\ a_n & a_0 & a_1 & & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots&\ddots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots& a_1\\ a_1 & \dots & \dots & a_n & a_0 \end{pmatrix}.$$Ecrire $M$ comme une fonction de $J$ et de ses puissances.

2. Déterminer toutes les valeurs propres de $M$ en s’aidant de la question précédente et en déduire la formule
   $$\mathrm{det}(M(a_0,\dots,a_n))=\prod_{k=1}^{n} P(e^{2ik\pi/n}),$$où $P(X):=\sum_{i=0}^n a_i X^i$.