Deux boules disjointes

Supposons par l’absurde que $B\!\left(x,\frac{\ell}{3}\right)\cap B\!\left(y,\frac{\ell}{3}\right)\neq\varnothing.$
Soit $z\in B\!\left(x,\frac{\ell}{3}\right)\cap B\!\left(y,\frac{\ell}{3}\right).$

D’après l’inégalité triangulaire,
$$d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z).$$Comme
$$z\in B\!\left(x,\frac{\ell}{3}\right) \quad\text{et}\quad z\in B\!\left(y,\frac{\ell}{3}\right),$$on obtient
$$d(x,z)<\frac{\ell}{3} \qquad\text{et}\qquad d(y,z)<\frac{\ell}{3}.$$Par conséquent,
$$d(x,y) < \frac{\ell}{3}+\frac{\ell}{3} = \frac{2\ell}{3}.$$Or, par hypothèse,
$$d(x,y)=\ell.$$Ainsi,
$$\ell<\frac{2\ell}{3}.$$Comme $\ell>0$, ceci est impossible. On obtient donc une contradiction.
Par conséquent,
$$B\!\left(x,\frac{\ell}{3}\right)\cap B\!\left(y,\frac{\ell}{3}\right)=\varnothing.$$