Deux prolongements de la fonction $\zeta$

On rappelle que, pour $x>1$ : $\displaystyle\zeta(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^{x}}=\int_{0}^{+\infty}\frac{t^{x-1}}{\Gamma(x)}\frac{1}{\mathrm{e}^{t}-1}\mathrm{d}t$

On note : $\displaystyle\Delta_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{k^{x}}\binom{n-1}{k-1}$

Montrez que :

1. $\displaystyle\zeta(x)\left(1-\frac{1}{2^{x-1}}\right)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\Delta_{k}(x)}{2^{k}}$

Remarque : observez que le second membre converge aussi lorsque $x\leqslant 1$

2. $\displaystyle x\zeta(x+1)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\Delta_{k}(x)}{k}$

Remarque : observez que le second membre converge aussi lorsque $x\leqslant 0$