Deux séries convergentes

Notons $\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^n u_k$ et $\displaystyle S=\sum_{k=0}^{+\infty} u_k$. On considère les sommes partielles de $(v_n).$
$$\sum_{k=0}^{n-1}v_k=\sum_{k=1}^{n-1}v_k=\sum_{k=1}^{n-1}ku_{k+1}-\sum_{k=1}^{n-1}ku_k=\sum_{j=2}^{n}(j-1)u_j-u_1-\sum_{k=2}^{n-1}ku_k=nu_n-\sum_{k=1}^n u_k.$$On voit donc que $\displaystyle\sum v_n$ converge si et seulement si $nu_n\longrightarrow 0.$ Montrons-le. On a, par décroissance de $(u_{n}),\forall n\in\mathbb{N},$
$$S_n-S_{\left\lfloor n/2\right\rfloor}=\sum_{k=\left\lfloor n/2\right\rfloor+1}^nu_k\geq \left(n-\left\lfloor \dfrac{n}{2}\right\rfloor\right)u_n\geq 0.$$Mais, grâce à l’inégalité $\dfrac{n}{2}-1\leq \left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor\leq \dfrac{n}{2}$ on a $\dfrac{n}{2}\leq n-\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor\leq \dfrac{n}{2}+1$ si bien qu’en multipliant par $\dfrac{2}{n}$ et en passant à la limite on a $n-\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor\sim \dfrac{n}{2}.$ Donc $\dfrac{nu_n}{2}\longrightarrow 0$. La série de terme général $v_n$ converge donc et sa somme vaut
$$\sum_{n=0}^{+\infty}v_n=-\sum_{n=1}^{+\infty}u_n=u_0-S.$$