Diamètre d’un compact

Soit $(E,\Vert\cdot\Vert)$ un espace vectoriel normé et $K$ un compact non-vide de ce dernier.

1) a) Montrer que $\delta(K):=\underset{x,y\in K}{\sup}\Vert x-y\Vert$ est bien défini et atteint. C’est le diamètre de $K$.
1) b) Déterminer le diamètre d’un rectangle vide (soit juste la frontière d’un rectangle plein) ainsi que celui d’un disque. On prendra pour cela la norme euclidienne sur $\R^2$.

2) a) On suppose dans cette question que $K$ est convexe. Montrer qu’il existe une longueur maximale $\ell(K)$ pour un segment inclus dans $K$. Relier $\ell(K)$ et $\delta(K)$.
2) b) Montrer le même résultat sans supposer $K$ convexe. Relier $\ell(K)$ et $\delta(K)$ dans ce contexte.
2) c) Déterminer $\ell(K)$ pour $K$ un rectangle vide et pour $K$ un disque.