Divisibilité d’entiers consécutifs

Intuitivement, en essayant avec des exemples, par exemple : "est-ce que 6 divise 7 ?", ou "est-ce que 127 divise 128 ?", on sent bien que $n-1$ est beaucoup trop grand pour être un diviseur de $n$.
Sauf lorsque $n=2$, auquel cas $n-1=1$ divise bien $n$...

Comment confirmer cette intuition ? Supposons que $n-1$ divise $n$, c’est-à-dire qu’il existe un entier $k$ tel que :
$$k(n-1)=n.$$Or, $k$ est supérieur ou égal à $2$ ; donc $n=k(n-1)\geq 2(n-1)=2n-2$.

Il suffit donc de se demander quand $n$ est supérieur ou égal à $2n-2$. En passant le $n$ de l’autre côté de l’inégalité, cette condition est équivalente à $n\leq 2$, ce qui est bien le résultat attendu !