From nothing to a group

On peut généraliser à un ensemble non vide quelconque. Pour $E$ un ensemble non vide, si $G$ est un groupe qui lui est équipotent, en désignant par $\varphi$ une bijection de $E$ dans $G$, alors $E$ peut être muni d’une structure de groupe pour la loi $x \ast y = \varphi^{-1}(\varphi(x)\varphi(y))$. On peut d’ailleurs vérifier que $\varphi$ devient alors naturellement un isomorphisme de groupes. L’exercice se ramène donc à savoir s’il existe ou non un groupe de tout cardinal.

Dans le cas fini, $G = \mathbb Z/n\mathbb Z$ est un groupe de taille $n$ pour tout $n \geq 1$.

Pour $X$ un ensemble infini de cardinal $\kappa$, on peut montrer que $S(X)' = \{\sigma \in S(X) \mid \mathrm{supp}(\sigma) \text{ est fini}\}$ est un groupe de même cardinal. En effet, pour tout $P_{2}(X)$ s’injecte dans $S(X)'$ via $\{x,y\} \mapsto (x~y)$, d’où $|S(X)|' \geq |P_{2}(X)| = \kappa$.
Réciproquement, soit $\sigma \in S(X)'$, alors $\sigma$ est entièrement déterminée par son support $E$ et $\sigma_{\mid E}$ une bijection de $S(E)$ sans point fixen d’où une injection de $S(X)'$ dans $\displaystyle \bigcup_{\substack{E \subset P(X) \\ E \text{fini}}} S(E)$, ce qui donne :
$$|S(X)'| \leq \sum_{\substack{E \subset P(X) \\ E \text{fini}}} |S(E)| = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \sum_{E \in P_{n}(X)} n! \right) = \kappa$$Finalement $S(X)'$ est de cardinal $\kappa$, et est bien sûr un sous-groupe de $S(X)$. On aurait pu considérer le groupe libre $\mathbb{Z}^{(X)}$.

First of all, if $E$ is empty, then $E$ cannot be endowed with a group structure for lack of a neutral element.
Consider $E \neq \varnothing$ and let $n \in \mathbb{N}^{*}$ denote the cardinality of $E$. Since the group $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$ has the same cardinality as $E$, there exists a bijection from $E$ to $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, which we shall denote by $\varphi$.
We then consider the map $\tau : E \times E \longrightarrow E$ defined as follows:
$$\forall(x,y) \in E^2, \quad \tau(x,y) = \varphi^{-1} \left( \varphi(x) + \varphi(y)\right) \;.$$We shall then verify that $(E,\tau)$ is a group.
Let $\overline{0}$ denote the neutral element of $(\Z/n\Z,+)$, and set
$$e:=\varphi^{-1}(\overline{0})\in E.$$

Let us first prove associativity. Let $(x,y,z)\in E^3$. By definition of $\tau$, we have
$$\varphi(\tau(x,y))=\varphi(x)+\varphi(y).$$ Therefore
$$\begin{aligned} \varphi\bigl(\tau(\tau(x,y),z)\bigr) &=\varphi(\tau(x,y))+\varphi(z)\\ &=(\varphi(x)+\varphi(y))+\varphi(z)\\ &=\varphi(x)+(\varphi(y)+\varphi(z))\\ &=\varphi(x)+\varphi(\tau(y,z))\\ &=\varphi\bigl(\tau(x,\tau(y,z))\bigr). \end{aligned}$$ As $\varphi$ is injective, it follows that
$$\tau(\tau(x,y),z)=\tau(x,\tau(y,z)).$$ Thus $\tau$ is associative.

Let us verify the existence of a neutral element. For every $x\in E$,
$$\varphi(\tau(e,x)) = \varphi(e)+\varphi(x) = \overline{0}+\varphi(x) = \varphi(x),$$ hence, by injectivity of $\varphi$,
$$\tau(e,x)=x.$$ Similarly,
$$\varphi(\tau(x,e)) = \varphi(x)+\varphi(e) = \varphi(x)+\overline{0} = \varphi(x),$$ whence
$$\tau(x,e)=x.$$ Thus $e$ is a two-sided neutral element for $\tau$.

Finally, let us verify the existence of an inverse for every element. Let $x\in E$. In the group $(\Z/n\Z,+)$, the element $\varphi(x)$ admits the additive inverse $-\varphi(x)$. Set
$$y:=\varphi^{-1}(-\varphi(x))\in E.$$ Then
$$\varphi(\tau(x,y)) = \varphi(x)+\varphi(y) = \varphi(x)-\varphi(x) = \overline{0} = \varphi(e),$$ so, by injectivity of $\varphi$,
$$\tau(x,y)=e.$$ Similarly,
$$\varphi(\tau(y,x)) = \varphi(y)+\varphi(x) = -\varphi(x)+\varphi(x) = \overline{0} = \varphi(e),$$ whence
$$\tau(y,x)=e.$$ Thus every element of $E$ admits a two-sided inverse for $\tau$.

The three axioms are therefore satisfied; consequently, $(E,\tau)$ is a group (and it is even abelian).