Du rien au groupe

On peut généraliser à un ensemble non vide quelconque. Pour $E$ un ensemble non vide, si $G$ est un groupe qui lui est équipotent, en désignant par $\varphi$ une bijection de $E$ dans $G$, alors $E$ peut être muni d’une structure de groupe pour la loi $x \ast y = \varphi^{-1}(\varphi(x)\varphi(y))$. On peut d’ailleurs vérifier que $\varphi$ devient alors naturellement un isomorphisme de groupes. L’exercice se ramène donc à savoir s’il existe ou non un groupe de tout cardinal.

Dans le cas fini, $G = \mathbb Z/n\mathbb Z$ est un groupe de taille $n$ pour tout $n \geq 1$.

Pour $X$ un ensemble infini de cardinal $\kappa$, on peut montrer que $S(X)' = \{\sigma \in S(X) \mid \mathrm{supp}(\sigma) \text{ est fini}\}$ est un groupe de même cardinal. En effet, pour tout $P_{2}(X)$ s’injecte dans $S(X)'$ via $\{x,y\} \mapsto (x~y)$, d’où $|S(X)|' \geq |P_{2}(X)| = \kappa$.
Réciproquement, soit $\sigma \in S(X)'$, alors $\sigma$ est entièrement déterminée par son support $E$ et $\sigma_{\mid E}$ une bijection de $S(E)$ sans point fixen d’où une injection de $S(X)'$ dans $\displaystyle \bigcup_{\substack{E \subset P(X) \\ E \text{fini}}} S(E)$, ce qui donne :
$$|S(X)'| \leq \sum_{\substack{E \subset P(X) \\ E \text{fini}}} |S(E)| = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \sum_{E \in P_{n}(X)} n! \right) = \kappa$$Finalement $S(X)'$ est de cardinal $\kappa$, et est bien sûr un sous-groupe de $S(X)$. On aurait pu considérer le groupe libre $\mathbb{Z}^{(X)}$.

Tout d’abord, si $E$ est vide, alors $E$ ne peut pas être muni d’une structure de groupe par défaut d’élément neutre.
Considérons $E \neq \varnothing$ et notons $n \in \mathbb{N}^{*}$ le cardinal de $E$. Le groupe $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$ étant de même cardinal que $E$, on peut trouver une bijection de $E$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ que l’on notera $\varphi$.
On considère alors l’application $\tau : E \times E \longrightarrow E$ définie comme suit :
$$\forall(x,y) \in E^2, \quad \tau(x,y) = \varphi^{-1} \left( \varphi(x) + \varphi(y)\right) \;.$$Nous vérifions alors que $(E,\tau)$ est un groupe.
Notons $\overline{0}$ l’élément neutre de $(\Z/n\Z,+)$, et posons
$$e:=\varphi^{-1}(\overline{0})\in E.$$

Montrons d’abord l’associativité. Soit $(x,y,z)\in E^3$. Par définition de $\tau$, on a
$$\varphi(\tau(x,y))=\varphi(x)+\varphi(y).$$ Donc
$$\begin{aligned} \varphi\bigl(\tau(\tau(x,y),z)\bigr) &=\varphi(\tau(x,y))+\varphi(z)\\ &=(\varphi(x)+\varphi(y))+\varphi(z)\\ &=\varphi(x)+(\varphi(y)+\varphi(z))\\ &=\varphi(x)+\varphi(\tau(y,z))\\ &=\varphi\bigl(\tau(x,\tau(y,z))\bigr). \end{aligned}$$ Comme $\varphi$ est injective, il vient
$$\tau(\tau(x,y),z)=\tau(x,\tau(y,z)).$$ Ainsi $\tau$ est associative.

Vérifions l’existence d’un élément neutre. Pour tout $x\in E$,
$$\varphi(\tau(e,x)) = \varphi(e)+\varphi(x) = \overline{0}+\varphi(x) = \varphi(x),$$ donc, par injectivité de $\varphi$,
$$\tau(e,x)=x.$$ De même,
$$\varphi(\tau(x,e)) = \varphi(x)+\varphi(e) = \varphi(x)+\overline{0} = \varphi(x),$$ d’où
$$\tau(x,e)=x.$$ Ainsi $e$ est un élément neutre bilatère pour $\tau$.

Vérifions enfin l’existence d’un inverse pour tout élément. Soit $x\in E$. Dans le groupe $(\Z/n\Z,+)$, l’élément $\varphi(x)$ admet pour inverse additif l’élément $-\varphi(x)$. Posons
$$y:=\varphi^{-1}(-\varphi(x))\in E.$$ Alors
$$\varphi(\tau(x,y)) = \varphi(x)+\varphi(y) = \varphi(x)-\varphi(x) = \overline{0} = \varphi(e),$$ donc, par injectivité de $\varphi$,
$$\tau(x,y)=e.$$ De même,
$$\varphi(\tau(y,x)) = \varphi(y)+\varphi(x) = -\varphi(x)+\varphi(x) = \overline{0} = \varphi(e),$$ d’où
$$\tau(y,x)=e.$$ Ainsi tout élément de $E$ admet un inverse bilatère pour $\tau$.

Les trois axiomes sont donc satisfaits ; par conséquent, $(E,\tau)$ est un groupe (et il est même abélien).