Du rien au groupe

Tout d’abord, si $E$ est vide, alors $E$ ne peut pas être muni d’une structure de groupe par défaut d’élément neutre.
Considérons $E \neq \varnothing$ et notons $n \in \mathbb{N}^{*}$ le cardinal de $E$. Le groupe $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$ étant de même cardinal que $E$, on peut trouver une bijection de $E$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ que l’on notera $\varphi$.
On considère alors l’application $\tau : E \times E \longrightarrow E$ définie comme suit :
$$\forall(x,y) \in E^2, \quad \tau(x,y) = \varphi^{-1} \left( \varphi(x) + \varphi(y)\right) \;.$$Nous vérifions alors que $(E,\tau)$ est un groupe.
Notons $\overline{0}$ l’élément neutre de $(\Z/n\Z,+)$, et posons
$$e:=\varphi^{-1}(\overline{0})\in E.$$

Montrons d’abord l’associativité. Soit $(x,y,z)\in E^3$. Par définition de $\tau$, on a
$$\varphi(\tau(x,y))=\varphi(x)+\varphi(y).$$ Donc
$$\begin{aligned} \varphi\bigl(\tau(\tau(x,y),z)\bigr) &=\varphi(\tau(x,y))+\varphi(z)\\ &=(\varphi(x)+\varphi(y))+\varphi(z)\\ &=\varphi(x)+(\varphi(y)+\varphi(z))\\ &=\varphi(x)+\varphi(\tau(y,z))\\ &=\varphi\bigl(\tau(x,\tau(y,z))\bigr). \end{aligned}$$ Comme $\varphi$ est injective, il vient
$$\tau(\tau(x,y),z)=\tau(x,\tau(y,z)).$$ Ainsi $\tau$ est associative.

Vérifions l’existence d’un élément neutre. Pour tout $x\in E$,
$$\varphi(\tau(e,x)) = \varphi(e)+\varphi(x) = \overline{0}+\varphi(x) = \varphi(x),$$ donc, par injectivité de $\varphi$,
$$\tau(e,x)=x.$$ De même,
$$\varphi(\tau(x,e)) = \varphi(x)+\varphi(e) = \varphi(x)+\overline{0} = \varphi(x),$$ d’où
$$\tau(x,e)=x.$$ Ainsi $e$ est un élément neutre bilatère pour $\tau$.

Vérifions enfin l’existence d’un inverse pour tout élément. Soit $x\in E$. Dans le groupe $(\Z/n\Z,+)$, l’élément $\varphi(x)$ admet pour inverse additif l’élément $-\varphi(x)$. Posons
$$y:=\varphi^{-1}(-\varphi(x))\in E.$$ Alors
$$\varphi(\tau(x,y)) = \varphi(x)+\varphi(y) = \varphi(x)-\varphi(x) = \overline{0} = \varphi(e),$$ donc, par injectivité de $\varphi$,
$$\tau(x,y)=e.$$ De même,
$$\varphi(\tau(y,x)) = \varphi(y)+\varphi(x) = -\varphi(x)+\varphi(x) = \overline{0} = \varphi(e),$$ d’où
$$\tau(y,x)=e.$$ Ainsi tout élément de $E$ admet un inverse bilatère pour $\tau$.

Les trois axiomes sont donc satisfaits ; par conséquent, $(E,\tau)$ est un groupe (et il est même abélien).