Du rien au groupe

On peut généraliser à un ensemble non vide quelconque. Pour $E$ un ensemble non vide, si $G$ est un groupe qui lui est équipotent, en désignant par $\varphi$ une bijection de $E$ dans $G$, alors $E$ peut être muni d’une structure de groupe pour la loi $x \ast y = \varphi^{-1}(\varphi(x)\varphi(y))$. On peut d’ailleurs vérifier que $\varphi$ devient alors naturellement un isomorphisme de groupes. L’exercice se ramène donc à savoir s’il existe ou non un groupe de tout cardinal.

Dans le cas fini, $G = \mathbb Z/n\mathbb Z$ est un groupe de taille $n$ pour tout $n \geq 1$.

Pour $X$ un ensemble infini de cardinal $\kappa$, on peut montrer que $S(X)' = \{\sigma \in S(X) \mid \mathrm{supp}(\sigma) \text{ est fini}\}$ est un groupe de même cardinal. En effet, pour tout $P_{2}(X)$ s’injecte dans $S(X)'$ via $\{x,y\} \mapsto (x~y)$, d’où $|S(X)|' \geq |P_{2}(X)| = \kappa$.
Réciproquement, soit $\sigma \in S(X)'$, alors $\sigma$ est entièrement déterminée par son support $E$ et $\sigma_{\mid E}$ une bijection de $S(E)$ sans point fixen d’où une injection de $S(X)'$ dans $\displaystyle \bigcup_{\substack{E \subset P(X) \\ E \text{fini}}} S(E)$, ce qui donne :
$$|S(X)'| \leq \sum_{\substack{E \subset P(X) \\ E \text{fini}}} |S(E)| = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \sum_{E \in P_{n}(X)} n! \right) = \kappa$$Finalement $S(X)'$ est de cardinal $\kappa$, et est bien sûr un sous-groupe de $S(X)$. On aurait pu considérer le groupe libre $\mathbb{Z}^{(X)}$.