Eclipse solaire partielle $2$

Soient donc $S$ le centre du disque "soleil", $L$ le centre du disque "lune" et $O$ leur milieu. Soient $A$ et $B$ les intersections des deux cercles correspondants et $\alpha$ l’angle $\widehat{ALB}$.

La surface visible du soleil $S_{v}$ (sur la figure, le croissant jaune à gauche) correspond à la différence entre la surface du soleil $\pi\times R^2$ et la surface $S_{i}$ de l’intersection des deux disques (surface de la lentille verte sur la figure) :
$S_{v}=\pi\times R^2-S_{i}.$ (1)

La surface de la lentille est constituée de deux demi-lentilles $S_{ig}$ et $S_{id}$ de surface identique, symétriques par rapport à l’axe AOB : $Si=2\times S_{id}=2\times S_{ig}$ (2).

Calculons la surface de la demi-lentille de gauche $S_{ig}$
Cette surface $S_{ig}$ est égale à la différence entre la surface $S_{slab}$ du secteur $LAB$ (secteur défini par les frontières $LAB$ et l’arc $AB$) et la surface $S_{tlab}$ du triangle isocèle $LAB$ rectangle en O de hauteur $OL$ (dont les côtés communs ont pour longueur $R$) : $S_{ig}=S_{slab}-S_{tlab}$ (3)

Calculons ces deux surfaces.

1. Calcul de $S_{slab}$.
   $AOL$ et $BOL$ étant rectangles en $O$, l’angle $\alpha$ vérifie la relation suivante :
   $$\cos(\alpha/2)=OL/R=1/4$$donc l’angle $\alpha$ vaut
   $$\alpha=2\times \arccos(1/4)$$

La surface $S_{slab}$ vaudra donc : $S_{slab}=\alpha\times R^2/2=\arccos(1/4)*R^2$

2. Calcul de $S_{tlab}$ .
   $S_{talb}=\text{Base}\times \text{Hauteur}/2$ avec $\text{Base}=2\times OA$ et $\text{Hauteur} = OL = R/4$

Notons qu’avec la relation de Pythagore, on a : $OA^2=AL^2-OL^2=R^2-(R/4)^2$
Nous avons donc $Stlab=\sqrt{15}\times R^2/16$

3. Calcul de $S_{v}$
   Avec (1) (2) et (3), on a : $Sv=\pi\times R^2-2\times S_{ig}=\pi\times R^2-2\times (S_{slab}-S_{tlab})$

d’où la relation finale : $S_{v}=R^2\times (\pi-2\times \arccos(1/4)+\sqrt{15}/8)$