Eclipse solaire partielle $2$

On va utiliser une méthode basée sur un calcul d’intégrale. On ramène déjà le problème, par dilatation, au cas $R=2$. Il suffira de multiplier le résultat par $\frac14 R^2$ pour avoir le résultat (vu que c’est une aire).
On note alors $O$ le centre du segment $[SL]$ et on considère le repère de centre $O$ de telle sorte que $S=(-1/2,0)$ et $L=(1/2,0)$.
Le problème se ramène à calculer l’aire $A$ de l’intersection des deux disques d’équations $(x+1/2)^2+y^2\leqslant 4$ et $(x-1/2)^2+y^2\leqslant 4$, respectivement ceux de centre $S$ et $L$. En effet, l’aire de cette intersection est exactement celle du disque de centre $S$, soit $\pi\cdot2^2$, à laquelle on retire l’aire de la partie visible du soleil.

On remarque alors que notre problème est invariant en changeant $x$ en $-x$ ainsi que $y$ en $-y$. On peut donc se ramener au quart $x\geqslant0,y\geqslant0$ quitte à multiplier $A$ par $4$.

Maintenant que $x$ est positif, on remarque que $(x+1/2)^2\geqslant (x-1/2)^2$ et ainsi la condition $(x+1/2)^2+y^2\leqslant4$ implique la condition $(x-1/2)^2+y^2\leqslant4$ donc on se ramène simplement à considérer la première condition.
Cette condition se traduit alors par $0\leqslant y\leqslant \sqrt{4-(x+1/2)^2}$ bien définie pour $x\in[0,3/2]$ (là où la racine est définie). Voulant une aire, on calculer ainsi:
$$A=4\int_{\R_+^2}\mathbf{1}_{(x+1/2)^2+y^2\leqslant 4}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=4\int_0^{3/2}\left(\int_0^{\sqrt{4-(x+1/2)^2}} 1\,\mathrm{d}y\right)\,\mathrm{d}x=4\int_0^{3/2}\sqrt{4-(x+1/2)^2}\,\mathrm{d}x.$$

Pour calculer cette aire, on fait ainsi le changement de variable $x=-\frac12 +2\cos(\theta), \theta\in[0,\arccos(1/4)]$ qui donne
$$A=4\int_{\arccos(1/4)}^{0} \sqrt{4-\left(-\frac12 +2\cos(\theta)+\frac12\right)^2}\,(-2\sin(\theta)\mathrm{d}\theta)=16\int_0^{\arccos(1/4)}\sin^2(\theta)\,\mathrm{d}\theta.$$Puis, pour calculer cette intégrale, on linéarise $\sin^2(\theta)$ en $\frac{1}{2}(1-\cos(2\theta))$ ce qui donne comme résultat final
$$A=8\left(\arccos(1/4)- \frac{1}{2}\cdot\sin(2\arccos(1/4))\right)$$où
$$\sin(2\arccos(\alpha))=2\cos(\arccos(\alpha))\sin(\arccos(\alpha))=2\alpha\sqrt{1-\cos(\arccos(\alpha))^2}=2\alpha\sqrt{1-\alpha^2}$$donc $A=8\arccos(1/4)-\frac{\sqrt{15}}{2}$.

Ainsi, l’aire cherchée est finalement
$$\boxed{\mathcal{A}=R^2\left(\pi-2\arccos(1/4)+\frac{\sqrt{15}}{8}\right)}$$