Éléments d’ordres $1,2,\ldots 10$

On peut généraliser la chose, soit $n_{1}, \dots, n_{i}$ des entiers naturels tous distincts, alors $G = \mathbb Z/ m \mathbb Z$ contient des éléments d’ordre $n_{k}$ pour tout $1 \leq k \leq i$ où $m = \mathrm{ppcm}(n_{k} \mid 1 \leq k \leq i)$, et il est minimal pour cette propriété.

En effet, c’est une condition nécessaire par Lagrange, et suffisante puisque les groupes cycliques vérifient justement la réciproque du théorème de Lagrange. Il n’y a pas unicité d’un tel groupe, $\mathbb Z/6 \mathbb Z$ et $\mathfrak S_{3}$ possèdent tous deux des éléments d’ordre $2$ et $3$.

Pour $n_{1} = 1, \cdots, n_{10} = 10$, on obtient $m = 2 520$.